等单值 tau 函数的 Fredholm 行列式与 Nekrasov 和表示

我们推导了黎曼球面上具有 $n$ 个正则奇点且具有一般 $\mathrm{GL}(N,\mathbb C)$ 单值性的 Fuchs 系统的等单值 tau 函数的 Fredholm 行列式表示。相应的算子作用于 $N(n-3)$ 个 $L^2(S^1)$ 副本的直和。其核具有块可积形式，并用 $n-2$ 个基本三点 Fuchs 系统的基本解表示，这些系统的单值性通过将穿孔球面分解为裤对 (pairs of pants) 由相关的 $n$ 点系统的单值性确定。对于 $N=2$，这些构建块具有超几何表示，核变得完全显式且具有 Cauchy 型。在这种情况下，Fredholm 行列式展开产生了 Garnier 系统 tau 函数的多变量级数表示，此前该表示是通过将其识别为 Liouville 共形块（或对偶 Nekrasov-Okounkov 配分函数）的傅里叶变换而获得的。进一步特化到 $n=4$ 给出了 Painlev\'e VI 方程通解的级数表示。