关于一般 $q$-Painlev\'e III$_3$ tau 函数的黎曼-Hilbert 问题、Fredholm 行列式、显式组合展开及其连接公式

我们将对应于类型 $A_7^{(1)'}$ 的 $q$-Painlev\'e 方程的 $q$-差分线性系统重新表述为圆上黎曼-Hilbert 问题。随后，我们考虑由该黎曼-Hilbert 问题的跳跃构建的 Fredholm 行列式，并证明其满足等价于 $P(A_7^{(1)'})$ 的双曲关系。我们还发现该 Fredholm 行列式的次小展开以显式因子化形式给出，并证明其与 $q$-扭曲 conformal blocks 的傅里叶级数相吻合，后者亦是纯 5维 $\mathcal{N}=1$ $SU(2)$ 规范理论的分区函数，包括带有 Chern-Simons 项的情形。最后，我们解答了这些等截面 tau 函数的连接问题，从而确定了其全局行为。