Kontsevich-Penner 矩阵积分、等单值 tau 函数与开交点数

我们将有限大小 $n$ 的 Kontsevich-Penner 矩阵积分，识别为 Riemann 球面上具有 $n$ 个 Fuchsian 奇点的 $3\times 3$ 有理联络的等单值 tau 函数，这些奇点与矩阵积分外场的本征值相对应。通过将等单值系统表述为适当的 Riemann-Hilbert 边值问题，我们可以取极限 $n\to\infty$（在形式层面上）并将等单值系统用 Miwa 变量识别，后者扮演 KP 层级时间的角色。这允许通过纯 Riemann-Hilbert 方法导出 String 与 Dilaton 方程。将配分函数的形式极限表达为等单值 tau 函数，使我们能据此 Riemann-Hilbert 问题在所有时间置零的解，导出该矩阵模型关联子的显式闭式公式。这些关联子被猜想描述了带边界 Riemann 曲面的交点数，或开交点数。