Garnier 系统经典解的几何

我们的目标是基于 Riemann-Hilbert 问题和等单值变形空间的几何，为 $n$ 变量 Garnier 系统 ${\cal G}_n$ 的经典解理论找到一种通用方法。我们的方法在于确定相应 Fuchs 系统的单值数据，这些数据保证拥有 Garnier 系统 ${\cal G}_n$ 的一个经典解。这引出了 Garnier 系统约化的思想。我们证明，如果 Garnier 系统 ${\cal G}_{n}$ 的一个解使得相伴 Fuchs 系统有 $l$ 个单值矩阵等于 $\pm\ID$，则它可以经典地约化为具有 $n-l$ 个变量的 Garnier 系统 ${\cal G}_{n-l}$ 的一个解。当 $n$ 个单值矩阵都等于 $\pm\ID$ 时，我们得到 ${\cal G}_n$ 的经典解。我们还给出另一种产生经典解的机制：我们证明具有可约单值群的 Garnier 系统的解可以约化为 Okamoto 和 Kimura 用 Lauricella 超几何函数所发现的经典解。在 1 变量 Garnier 系统即 Painlevé VI 方程的情形，我们证明所有经典非代数解要么具有可约单值群，要么至少有一个单值矩阵等于 $\pm\ID$。