由 $2\times 2$ 矩阵的 $N$ 次幂导出的组合恒等式

在本文中，我们给出了 $2\times2$ 矩阵的 $n$ 次幂的一个新公式。更确切地说，我们证明如下：设 $A= \left ( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right )$ 为任意 $2\times2$ 矩阵，$T=a+d$ 为其迹，$D= ad-bc$ 为其行列式，并定义 $$y_{n} :\,= \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}\binom{n-i}{i}T^{n-2 i}(-D)^{i}.$$ 则对 $n \geq 1$，\begin{equation*} A^{n}=\left ( \begin{matrix} y_{n}-d \,y_{n-1} & b \,y_{n-1} \\ c\, y_{n-1}& y_{n}-a\, y_{n-1} \end{matrix} \right ). \end{equation*} 我们利用此公式以及已有的矩阵 $n$ 次幂公式、各种矩阵恒等式、特定矩阵 $n$ 次幂公式等，推导出多种组合恒等式。