源自 $2 \times 2$ 矩阵 $n$ 次幂的进一步组合恒等式

本文利用 $2\times2$ 矩阵 $A$ 的 $n$ 次幂公式（以 $A$ 的元素表示）推导各种组合恒等式。以下是我们结果的三个例子。1) 我们证明，若 $m$ 和 $n$ 为正整数且 $s \in \{0,1,2,\dots,$ $\lfloor (mn-1)/2 \rfloor \}$，则 \begin{multline*} \sum_{i,j,k,t}2^{1+2t-mn+n} \frac{(-1)^{nk+i(n+1)}}{1+\delta_{(m-1)/2,\,i+k}} \binom{m-1-i}{i} \binom{m-1-2i}{k}\times\\ \binom{n(m-1-2(i+k))}{2j}\binom{j}{t-n(i+k)} \binom{n-1-s+t}{s-t}\\ =\binom{mn-1-s}{s}. \end{multline*} 2) 广义 Fibonacci 多项式 $f_{m}(x,s)$ 可表示为 $$f_{m}(x,s)= \sum_{k=0}^{\lfloor (m-1)/2 \rfloor}\binom{m-k-1}{k}x^{m-2k-1}s^{k}.$$ 我们证明以下泛函方程成立：\begin{equation*} f_{mn}(x,s)=f_{m}(x,s)\times f_{n}\left (\,f_{m+1}(x,s)+sf_{m-1}(x,s), \,-(-s)^{m}\right) . \end{equation*} 3) 若算术函数 $f$ 是积性的，且对每个素数 $p$ 存在复数 $g(p)$ 使得 \begin{equation*} f(p^{n+1}) = f(p)f(p^{n})- g(p)f(p^{n-1}), \hspace{15pt} n \geq 1, \end{equation*} 则称 $f$ 为\emph{特殊积性的}。我们给出了以下特殊积性函数 $f$ 在素数幂处取值的公式的另一种推导：\begin{equation*} f(p^{k})=\sum_{j=0}^{\lfloor k/2 \rfloor}(-1)^{j} \binom{k-j}{j}f(p)^{k-2j}g(p)^{j}. \end{equation*} 我们还证明了各种其他组合恒等式。