两类广义斐波那契数平方与 (0,1) Toeplitz 矩阵积和式之间的联系

通过考虑用我们称之为梳子的新型骨牌来铺砌 $N$-板（由 $N$ 个单位宽度方形单元格组成的线性阵列），我们给出了两个连续广义斐波那契数 $s_n$（其中 $s_{n}=\sum_{i=1}^q v_i s_{n-m_i}$，$s_0=1$，$s_{n<0}=0$，其中 $v_i$ 与 $m_i$ 为正整数且 $m_1<\cdots<m_q$）各自取任意非负整数次幂后乘积的组合解释。一个 $(w,g;m)$-梳子是由 $m$ 个尺寸为 $w\times1$ 的矩形子骨牌组成、其间以宽度为 $g$ 的间隙隔开的骨牌。该解释被用于给出新的卷积型恒等式的组合证明，这些恒等式将 $q=2$、$v_i=1$、$m_1=M$、$m_2=m+1$（其中 $M=0,m$）情形下的 $s_n^2$ 与具有 3 条非零对角线（分别位于主对角线上方 $-2$、$M-1$ 与 $m$ 处）的 (0,1) Toeplitz 矩阵的积和式相联系。当 $m=1$ 时，这些恒等式退化为联系 Padovan 数与 Narayana 牛数的恒等式。