Fibonacci、Motzkin、Schröder、Fuss-Catalan 及其他组合结构：万有与嵌入双射

一个组合结构族 $\mathcal{F}$，其计数序列为 $\{a_n\}_{n\ge 0}$，普通生成函数为 $G_\mathcal{F}=\sum_{n\ge0} a_n x^n$，若 $G_\mathcal{F}$ 满足多项式方程 $G_\mathcal{F}=\sum_{k=0}^N p_k(x)\,G_\mathcal{F}^k$ 且 $p_k(x)$ 是系数为非负整数的 $x$ 的多项式，则称其为正代数的。我们证明每一个这样的族都与一个赋范 $\mathbf{n}$-岩浆相关联。一个 $\mathbf{n}$-岩浆，其中 $\mathbf{n}=(n_1,\dots, n_k)$，是一对 $\mathcal{M}$ 与 $\mathcal{F}$，其中 $\mathcal{M}$ 是一组组合结构，$\mathcal{F}$ 是一组 $n_i$ 元映射 $f_i\,:\,\mathcal{M}^{n_i}\to \mathcal{M}$ 构成的元组。范数是一个超加性尺度映射 $||\cdot||\,:\, \mathcal{M}\to \mathbb{N}$。如果赋范 $\mathbf{n}$-岩浆是自由的，我们证明在所有具有相同计数序列的正代数族 $\mathcal{F}_i$ 之间存在一个递归的、保范数的万有双射。自由 $\mathbf{n}$-岩浆通过一个万有映射原理定义。我们陈述一个定理，该定理提供了一种证明特定 $\mathbf{n}$-岩浆是否自由的组合方法。我们通过定义若干 $\mathbf{n}$-岩浆来说明这一点：十一个 $(1,1)$-岩浆（Fibonacci 族）、十七个 $(1,2)$-岩浆（九个 Motzkin 族和八个 Schröder 族）以及七个 $(3)$-岩浆（Fuss-Catalan 族）。我们证明了它们都是自由的，从而为每个 $\mathbf{n}$ 获得一个万有双射。我们还展示了 $\mathbf{n}$-岩浆结构如何体现为嵌入双射。