Schreier 集的并的计数

正整数子集 $F$ 若非空且 $|F|\leqslant \min F$（此处 $|F|$ 为 $F$ 的基数），则称为 Schreier 集。对每个正整数 $k$，我们定义 $k\mathcal{S}$ 为至多 $k$ 个 Schreier 集的所有并构成的集合。又对每个正整数 $n$，令 $(k\mathcal{S})^n$ 为 $k\mathcal{S}$ 中最大元素等于 $n$ 的所有集合构成的集合。众所周知，序列 $(|(1\mathcal{S})^n|)_{n=1}^\infty$ 为斐波那契数列。特别地，该序列满足线性递推。我们推广了这一结论，即证明对每个正整数 $k$，序列 $(|(k\mathcal{S})^n|)_{n=1}^\infty$ 均满足线性递推。