斐波那契出现次数映射的动力学

正整数 $n$ 在斐波那契序列中的出现次数(order of appearance) $z(n)$ 定义为最小的正整数 $j$,使得 $n$ 整除第 $j$ 个斐波那契数。当对于正整数 $n$,第 $n$ 个斐波那契数是 $n$ 所整除的最小斐波那契数时,出现不动点(fixed point)。换言之,$z(n) = n$。2012 年,Marques 证明了不动点仅当 $n$ 对所有非负整数 $k$ 具有形式 $5^{k}$ 或 $12\cdot5^{k}$ 时才出现。由此立即得出斐波那契序列中存在无穷多个不动点。我们证明了存在无穷多个整数恰好经 $k$ 步迭代至一个不动点。此外,我们构造了趋于每个形如 $12 \cdot 5^{k}$ 的不动点的无穷整数族。最后,我们给出了所有正整数 $n$ 在有限次迭代后到达一个不动点的另一种证明。