慢 Fibonacci 游走

对正整数 $n$，我们研究从满足递推 $a_{k+2}=a_{k+1}+a_k$ 的某起始对 $a_1$、$a_2$ 出发，通过{\it Fibonacci 游走}到达 $n$ 所需步数。慢 Fibonacci 游走问题由 Richard Stanley 首次提出，旨在确定以 $n$ 结尾的此类 Fibonacci 游走的最大步数 $s(n)$。Stanley 猜想对大多数 $n$，存在到达 $n = a_s$ 的慢 Fibonacci 游走，使得 $a_{s+1}$ 是最接近 $\phi n$ 的整数，其中 $\phi=(1+\sqrt{5})/2$。我们证明这仅对正比例的 $n$ 成立。通过给出一个刻画定理，我们给出了起始对的选择与 $s(n)$ 的确定之显式公式。我们还推导了关于下例与上例（即分别满足 $a_{s+1}=\lfloor \phi n\rfloor$ 或 $\lceil \phi n \rceil$ 的那些 $n$）分布以及更一般的“悖论”例分布的若干密度结果。