Gessel游走计数的一种概率方法

我们考虑平面上从原点$(0, 0)$出发、保持在第一象限$i, j \geq 0$内、由西、东北、东和西南步构成的Gessel游走。设$F(m; n_1, n_2)$表示恰好经过$m$步且终点为$(n_1, n_2)$的此类游走的数量，Petkovšek和Wilf提出了几个类似于著名Gessel猜想的类似猜想。我们建立了一个与交错行走者问题相关的Gessel游走的概率模型。该模型帮助我们获得了$F(n+k+r;n+k-r,n)$和$F(n+2k; n, 0)$的带有二项式系数的线性齐次递推关系。具体而言，$\frac{n! k! (n+k+1)!}{(2n+2)!} F(2n+2k;0,n)$是一个全整系数多项式，其首项为$2^{3k-2} n^{2k-2}$，而$\frac{k! (k+1)!}{n+1} F(n+2k;n,0)$也是一个全整系数多项式，其首项为$n^{2k-1}$。由此解决了Petkovšek和Wilf的两个猜想。