通过多项式游走建立扭曲回归

在本文中，我们展示了如何利用多项式游走来建立 $\mathbb{Z}^d$ 中正密度集合的扭曲回归。特别地，我们证明了如果 $\Gamma \leq \operatorname{GL}_d(\mathbb{Z})$ 由幺幂元素有限生成且在 $\mathbb{R}^d$ 上不可约地作用，那么对于 $\mathbb{Z}^d$ 中任意正密度的集合 $B$，存在 $k \geq 1$ 使得对于任意 $v \in k \mathbb{Z}^d$，可以找到 $\gamma \in \Gamma$ 满足 $\gamma v \in B - B$。我们的方法不要求作用的线性性，并且我们证明了对于满足某些不可约性和多项式假设的从 $\mathbb{Z}^d$ 到 $\mathbb{Z}^d$ 的映射半群存在扭曲回归。作为推论之一，我们证明了 Bogolubov 定理的一个非线性类比——对于 $\mathbb{Z}^2$ 中任意正密度的集合 $B$，以及满足 $p(0) = 0$ 且 $\operatorname{deg}(p) \geq 2$ 的 $p(n) \in \mathbb{Z}[n]$，存在 $k \geq 1$ 使得 $k \mathbb{Z} \subset \{ x - p(y) \, | \, (x,y) \in B-B \}$。与以往关于扭曲回归的研究使用 Benoist-Quint 和 Bourgain-Furman-Lindenstrauss-Mozes 关于环面自同构群上随机游走等分布的最新结果不同，我们的方法依赖于多项式轨道在环面上的经典 Weyl 等分布。