齐次空间上随机游走的若干渐近性质

设 $G$ 为具有有限中心的连通半单实李群，$\mu$ 为 $G$ 上支撑生成 $G$ 的 Zariski 稠密子群的概率测度。我们考虑 $G$ 上的右 $\mu$-随机游走，并证明每条随机轨迹大部分时间处于一个精心选择的 Weyl 腔的有界距离内。我们推得若 $G$ 秩为一且 $\mu$ 具有有限一阶矩，则对任意离散子群 $\Lambda \subseteq G$，$\mu$-游走与 $\Lambda \backslash G$ 上的测地流要么均暂态，要么均回归且遍历，从而推广了 Hopf-Tsuji-Sullivan-Kaimanovich 关于布朗运动的著名定理。