$\tilde{A}_2$-建筑上的平稳测度与随机游走

我们考虑一个 Locally compact second countable 群 $G$ 对可能是非离散的仿射建筑 $X$ 的非基本作用作, 这里 $X$ 是类型为 $\tilde{A}_2$ 的建筑。我们证明, 如果 $\mu$ 是 $G$ 上的一个可接受对称概率测度, 则存在唯一的 $\mu$-平稳测度, 其支持集中在无穷远处球形建筑的室内。我们使用这一结果来研究由 $G$-作用诱导的随机游走, 并证明如果 $\mu$ 有有限的二阶矩, 则 $(Z_n o)$ 在几乎必然情况下收敛到边界的正则点, 且随机游走的 Lyapunov 谱是简单的。应用于 Bruhat-Tits 建筑, these 结果扩展了 H.~Furstenberg 经典定理。