论随机游走的有界调和函数的包含关系

我们研究了群 $G$ 上概率测度 $\mu$ 的有界调和函数空间包含于另一测度 $\theta$ 的有界调和函数空间的条件。我们证明了由条件 $\|\mu^{*t}*\theta - \theta*\mu^{*t}\|_{TV} \to 0$（当 $t \to \infty$ 时）定义的渐近交换性，在 $\theta$ 相对于 $\mu$ 的卷积幂的凸组合绝对连续的前提下，足以保证包含关系 $H^\infty(G, \mu) \subseteq H^\infty(G, \theta)$。通过采用鞅收敛技术而非遍历理论论证，我们证明了该结果在不假设 $G$ 具有拓扑性质（如局部紧性）的情况下成立，并可推广至一般马尔可夫链。此外，利用 Poisson 边界的命中模型，我们将包含关系 $H^\infty(G, \mu) \subseteq H^\infty(G, \theta)$ 刻画为等价于 $\theta$ 在弱* 拓扑下对 $\mu$ 的渐近不变性。我们应用这些结果给出了幂零群 Choquet-Deny 定理的概率证明及其他应用。