线性随机游走的谱隙性质与仿射随机递归的 Pareto 渐近性

设 $V=\mathbb R^d$ 为欧几里得 $d$ 维空间，$\mu$（分别为 $\lambda$）为线性群 $G=G L (V)$（分别为仿射群 $H= \Aff (V)$）上的概率测度，并假设 $\mu$ 是 $\lambda$ 在 $G$ 上的投影。若由 $\mu$（分别为 $\lambda$）的支撑生成的子半群 $T\subset G$（分别为 $\Sigma \subset H$）是“大”的，我们研究迭代卷积 $\mu^n *\delta_{v}$（分别为 $\lambda^n*\delta_{v})$ 的渐近性质（其中 $v\in V$），即由 $\mu$（分别为 $\lambda$）定义的 $V$ 上随机游走的渐近性。我们证明了由 $\mu$ 定义的卷积算子在满足 H{"o}lder 型条件的 $V$ 上 $s\geq 0$ 次齐次函数空间上具有谱隙性质。作为我们分析的结果，我们得到了势核 $\Sigma_{0}^{\infty} \mu^k * \delta_{v}$ 的精确渐近性，这表明了其渐近齐次性。在自然条件下，$H$-空间 $V$ 是一个 $\lambda$-边界；随后我们利用上述结果及 $V\setminus \{0\}$ 上的径向 Fourier 分析，证明了 $V$ 上唯一的 $\lambda$-平稳测度 $\rho$ 关于膨胀 $v\rightarrow t v$（对于 $t>0$）在无穷远处是“齐次的”，其尾测度主要依赖于 $\mu$ 和 $\Sigma$。我们的证明基于某些马尔可夫依赖随机矩阵乘积的主 Lyapunov 指数的简单性、对“温和”马尔可夫游走更新定理的使用，以及对偶于 $V$ 的条件 $\lambda$-边界的动力学性质。