群自由积上随机游走渐近行为的相变

假设我们给定有限生成群$\Gamma_1,...,\Gamma_m$，并配备不可约随机游走。由此，我们假设相应格林函数在其收敛半径处的展开式中，奇异项仅包含对数项或代数项，直至足够高阶（除某些退化情况外）。我们考虑自由积$\Gamma_1 \ast ... \ast\Gamma_m$上的暂态随机游走，并给出相应$n$步返回概率可能渐近行为的完整分类。它们要么继承自某个自由因子$\Gamma_i$的形如$\varrho^{n\delta} n^{-\lambda_i} \log^{\kappa_i}n$的律，要么服从$\varrho^{n\delta} n^{-3/2}$律，其中$\varrho<1$是相应的谱半径，$\delta$是随机游走的周期。此外，我们确定了形如$\Z^{d_1}\ast ... \ast \Z^{d_m}$的自由积上最近邻随机游走渐近行为的完整范围。并且，我们刻画了在$\Gamma_1\ast\Gamma_2$情形下非指数类型$n^{-\lambda_i}\log^{\kappa_i}n$可能出现的相变。