自由积群上的分支随机游走

我们研究了自由积的凯莱图上分支随机游走(BRW)的某些相变。本文旨在比较迹(trace)的大小和结构性质(即由某些粒子访问过的所有边和顶点构成的子图)与原始凯莱图的性质。我们研究了增长参数$\lambda$足够小使得过程存活但迹并非原始图的相。第一个结果是，迹边界的计盒维数存在、几乎必然为常数，并且等于我们记为$\Phi(\lambda)$的豪斯多夫维数。主要结果表明，函数$\Phi(\lambda)$只有一个不连续点，即$\lambda_{c}=R$，其中$R$是底层随机游走格林函数的收敛半径。此外，$\Phi(R)$受限于原始凯莱图边界豪斯多夫维数的一半，并且$\Phi(R)-\Phi(\lambda)$在$\lambda \uparrow R$时的行为被分类。在无限群自由积的情形下，末端边界可以分解为有限长词和无限长词。我们证明存在一个相变：若$\lambda\leq \tilde\lambda_{c}$，迹的末端边界仅由无限长词构成；若$\lambda>\tilde\lambda_{c}$，则也包含有限长词。在最后一种情形下，由有限长词诱导的(迹和原始图的)末端集合的豪斯多夫维数严格小于由无限长词诱导的末端集合的豪斯多夫维数。