自由群上分支随机游走的多 fractal 谱

自由群 $\mathbb{F}$ 上的对称分支随机游走（BRW）当且仅当平均子代数 $r$ 不超过其基本随机游走的谱半径的倒数 $R$ 时为暂停的。在此情形下，limit set $\Lambda_r$——由所有 BRW 粒子轨迹收敛的自由群端点组成的随机子集——是边界 $\partial \mathbb{F}$ 的一个真随机子集。Hueter 和 Lalley（2000）确定了 $\Lambda_r$ 的 Hausdorff 维数，并证明 $\dim_{\mathrm{H}} \Lambda_r \le (1/2)\dim_{\mathrm{H}} \partial \mathbb{F}$，且当且仅当 $r = R$ 时等式才可能成立。在本文中，我们进一步扩展了这一研究，通过对 limit set $\Lambda_r$ 的多 fractal 分析，得到了子 fractal $\Lambda_r(\alpha) \subset \Lambda_r$ 的 Hausdorff 维数，这些子 fractal 由所有以速率 $\alpha \in [0,1]$ 逃逸的粒子轨迹到达的自由群端点组成。值得注意的是，存在唯一的 $\alpha(r) \in [0,1]$ 使得 $\dim_{\mathrm{H}} \Lambda_r = \dim_{\mathrm{H}} \Lambda_r(\alpha(r))$。更进一步，出现了有趣的相位转变：当 $r < R$ 时 $\alpha(r) > 0$，而当 $r = R$ 时 $\alpha(R) = 0$。