超临界 Galton-Watson 树中偏置随机游走的调和测度

我们考虑在 Galton-Watson 树上的 $\lambda$-偏置（朝向根）随机游走，其子代分布 $(p_k)_{k\geq 1}$ 非退化且有限均值 $m>1$。在暂态区域 $0<\lambda<m$ 内，偏置随机游走的消圈轨迹定义了 $\lambda$-调和射线，其律为 Galton-Watson 树边界上的 $\lambda$-调和测度。我们回答了 Lyons、Pemantle 与 Peres 的一个问题，证明了 $\lambda$-调和测度几乎必然具有严格大于可见性测度的豪斯多夫维数，而可见性测度对应于简单前向随机游走的调和测度。我们还证明，沿 $\lambda$-调和射线的顶点平均子代数几乎必然以下界 $m$ 和上界 $m^{-1}\sum k^2 p_k$ 为界。此外，至少对于 $0<\lambda \leq 1$，沿 $\lambda$-调和射线的顶点平均子代数几乎必然严格大于 $\lambda$-偏置随机游走轨迹的相应值。我们观察到后者在偏置参数 $\lambda$ 上并非单调。