随机树中球的调和测度

我们研究了典型大型离散树中球的调和测度的性质。对于以根为中心、半径为 $n$ 的球，我们证明：尽管边界的量级为 $n$，但大部分调和测度支撑在一个大小约为 $n^{\beta}$ 的边界集上，其中 $\beta\approx0.78$ 是一个普适常数。为了得出此类结果，我们将调和测度解释为树上简单随机游走的球的退出分布，并首先处理高度大于 $n$ 的临界 Galton-Watson 树的情形。我们方法的一个重要组成部分是类似的连续模型（与 Aldous 的连续随机树相关），其中树水平集调和测度的维数等于 $\beta$，而水平集本身的维数等于 $1$。常数 $\beta$ 用大型临界 Galton-Watson 树电导的渐近分布来表示。