无XlogX条件下Galton-Watson树上的均匀测度

我们考虑一个后代分布 $\nu$ 具有有限均值的Galton-Watson树。树边界上的均匀测度是通过将质量 $1$ 放置在第 $n$ 代的每个顶点上并取极限 $n\to \infty$ 得到的。在 $E[\nu\ln(\nu)]<\infty$ 的情况下，该测度已被充分研究，并且已知该测度的豪斯多夫维数等于 $\ln(m)$（\cite{hawkes}，\cite{lpp95}）。当 $E[\nu \ln(\nu)]=\infty$ 时，我们证明维数降至 $0$。这回答了Lyons、Pemantle和Peres \cite{LyPemPer97} 的一个问题。