随机树到边界的距离

给定一个条件化为总后代数等于 $n$ 的 Galton-Watson 过程，我们研究当节点数 $n \rightarrow \infty$ 时，该条件化 Galton-Watson 过程到边界的距离不小于 $k$ 的渐近概率。一个与此类似的问题已由 R\'enyi 和 Szekeres 对 Cayley 树、de Bruijn、Knuth 和 Rice 对平面树以及 Flajolet、Gao、Odlyzko 和 Richmond 对二叉树解决。到边界的距离在某种意义下是树高的对偶。前者是根到叶距离的最小值，后者是根到叶距离的最大值。这是两个极端的互补情形。