有根与无根单纯生成树的距离剖面

众所周知，具有有限后代方差的临界条件Galton-Watson树的高度剖面在经过适当归一化后，收敛于标准布朗游程的局部时间。本文中，我们研究距离剖面，其定义为所有顶点对之间距离的剖面。我们证明在经过恰当重标度后，距离剖面收敛于一个连续随机函数，该函数可描述为布朗连续随机树中随机点间距离的密度。我们证明该极限函数以概率1对任意阶$\alpha<1$为H"older连续，且几乎处处可微。我们注意到它在$0$处不可微，但将其是否为Lipschitz、以及是否在半直线$(0,\infty)$上连续可微留作开放问题。与专为有根树设计的高度剖面不同，距离剖面天然地也定义于无根树。这一点用于我们的证明中，并且我们证明了随机无根单纯生成树的距离剖面的相应收敛结果。作为本工作的一个次要目的，我们也形式化了无根单纯生成树的概念，并包含一些将其与有根单纯生成树相关联的简单结果，这些可能具有独立意义。