Galton-Watson 树的重路径方法及其在 Apollonian 网络中的应用

我们研究了条件 Galton-Watson 树的重路径分解。在一棵以规模 $n$ 为条件的标准 Galton-Watson 树中，我们按子树大小将所有子节点从大到小（从重到轻）排序。如果一个节点在其兄弟节点中属于 $k$ 个最重的节点之一，则将其标记。未标记的节点及其子树被移除，仅留下一棵由标记节点构成的树，我们称之为 $k$-重树。我们研究了这些树的各种性质，包括其规模以及从任意原始节点到 $k$-重树的最大距离。特别地，在一定的矩条件下，$2$-重树以高概率大于 $cn$（其中 $c > 0$ 为某常数），且从 $k$-重树出发的最大距离在概率意义下为 $O(n^{1/(k+1)})$。作为一个推论，对于规模为 $n$ 的均匀随机 Apollonian 网络，最长简单路径的期望规模为 $\Omega(n)$。