调和测度与分析学家旅行商定理

我们研究广义 Jones $\beta$-数与调和测度之间的关系。首先，我们推广了 Garnett、Mourgoglou 和 Tolsa 的一个结果，证明 $\mathbb{R}^{d+1}$ 中边界为下 $d$-内容正则的域当且仅当广义 Jones $\beta$-数的平方和为有限时，其调和测度容许 Corona 分解。其次，对于具有 Ahlfors 正则边界的半均匀域，已知一致可求长性蕴含半均匀域的调和测度为 $A_{\infty}$，但现在我们给出了关于 $A_{\infty}$-常数相对于一致可求长常数的更显式依赖关系。这源于一个更一般的估计，该估计不假设边界为一致可求长的。对于一般半均匀域，我们还展示了如何根据该子集的 Hausdorff 测度以及该子集上 $\beta$-数的平方和来界定子集的调和测度。利用这一点，我们根据 $\beta$-数给出了均匀域中 Green 函数波动的估计。作为推论，对于有界 NTA 域，若 $B_{\Omega}=B(x_{\Omega},c\mathrm{diam} \Omega)$ 满足 $2B_{\Omega}\subseteq \Omega$，我们得到 $$(\mathrm{diam} \partial\Omega)^{d} + \int_{\Omega\backslash B_{\Omega}} \ |\frac{\nabla^2 G_{\Omega}(x_{\Omega},x)}{G_{\Omega}(x_{\Omega},x)}\ |^{2} \mathrm{dist}(x,\Omega^c)^{3} dx \sim \mathscr{H}^{d}(\partial\Omega).$$ 其次，我们还使用 $\beta$-数来估计对于具有 Ahlfors 正则边界的半均匀域，调和测度在多大程度上不是 $A_{\infty}$-权。