椭圆微分方程正解的边界性态

设 $u$ 为单位球 $B_1 \subset \mathbb{R}^n$ 内的正调和函数，$\mu$ 为 $u$ 的边界测度。考虑点 $x\in \partial B_1$，令 $n(x)$ 表示 $x$ 处的单位法向量。设 $\alpha$ 为 $(-1,n-1]$ 区间内的数，$A \in [0,+\infty)$。我们证明：当 $t \to +0$ 时 $u(x+n(x)t)t^{\alpha} \to A$ 当且仅当当 $r\to+0$ 时 $\frac{\mu({B_r(x)})}{r^{n-1}} r^{\alpha} \to C_\alpha A$，其中 ${C_\alpha= \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n-\alpha+1}{2})\Gamma(\frac{\alpha+1}{2})}}$。对于 $\alpha=0$，该结论可由 Rudin 和 Loomis 的定理推出，这些定理指出正调和函数沿法向存在极限当且仅当边界测度在边界相应点处存在导数。对于 $\alpha=n-1$，这涉及 $\mu$ 在 $x$ 处的点质量，可由 Beurling 极小原理推出。对于 $\alpha \in (-1,n-1)$ 的一般情形，我们仿照 Rudin 的方法，借助 Wiener Tauberian 定理进行了证明。遗憾的是，该方法仅适用于球或半空间，而不适用于一般类型的区域。在二维情形下，可利用共形映射将上述结论推广至足够光滑的区域；在 $n\geq 3$ 维情形下，我们利用调和测度估计证明了该推广对 $\alpha\in [0,n-1]$ 是可行的。最后一种方法将 Loomis、Ramey 和 Ullrich 关于调和函数非切向极限的定理推广到了具有 Hölder 连续系数的椭圆微分方程的正解。