半一致域与调和测度的 $A_{\infty}$ 性质

我们研究半一致域中调和测度的性质。Aikawa 与 Hirata 在 \cite{AH08} 中表明，对于满足容量密度条件（CDC）的 John 域，调和测度的加倍性质等价于该域为半一致域。我们的第一个结果去掉了 John 条件，证明了任何满足 CDC 且调和测度加倍的域都是半一致域。接着，我们为半一致域中调和测度的若干经典估计（原在非切向可达域中成立）发展了替代估计。我们还证明了具有一致可求长边界的半一致域拥有弦弧子域的大块。由于 Hrycak 的一个例子（我们在附录中回顾），我们不能指望拥有 Lipschitz 子域的大块（David 与 Jerison \cite{DJ90} 对弦弧域证明了这一点）。最后，我们综合这些工具来研究调和测度的 $A_{\infty}$ 性质。对于具有 Ahlfors-David 正则边界的域，Hofmann 与 Martell 证明了调和测度的 $A_{\infty}$ 性质意味着边界的一致可求长性 \cite{HM15,HLMN17}。由于 $A_{\infty}$ 权是加倍的，这也意味着该域是半一致的。我们的最终结果表明，半一致性与一致可求长边界这两个性质也蕴含调和测度的 $A_{\infty}$ 性质，从而从几何上对所有满足此性质的域进行了分类。