调和测度与定量连通性：Dirichlet问题$L^p$可解性的几何刻画

众所周知，在具有Ahlfors-David正则边界的开集$\Omega\subset \mathbb{R}^{n+1}$的边界上，调和测度相对于表面测度的定量、尺度不变绝对连续性（更精确地，弱-$A_\infty$性质）等价于在$\Omega$中求解以$L^p(\partial\Omega)$（$p<\infty$）中数据为输入的Dirichlet问题的可解性。在本文中，我们给出调和测度的弱-$A_\infty$性质、从而也是某个有限$p$的$L^p$ Dirichlet问题可解性的几何刻画。该刻画在背景假设（内部瓶塞条件，连同边界的Ahlfors-David正则性）下获得，这些假设是自然的，且在某种意义下是最优的：我们给出了在缺少其中任一假设（甚至上或下Ahlfors-David界之一）时的反例；此外，这些例子表明上、下Ahlfors-David界各自在定量意义下是尖锐的。