热方程 $L^p$ Dirichlet 问题的可解性蕴含抛物线均匀可测性

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 为时空中的开集，边界为 $\Sigma = \partial \Omega$。在最小且自然的背景假设下——即 $\Sigma$ 为时间对称抛物线 Ahlfors--David 正则且 $\Omega$ 满足内部胶囊条件——我们研究一个一相抛物线自由边界问题，以建立热方程 $L^p(d\sigma)$ Dirichlet 问题可解性对抛物线均匀可测性的必要性。更准确地说，我们证明了若与 $\Omega$ 关联的热度测度相对于边界测度 $\sigma = \mathcal{H}_{\mathrm{par}}^{n+1}\!\lfloor_{\Sigma}$ 满足弱-$A_\infty$ 条件，则 $\Sigma$ 为抛物线均匀可测，从而等价地说明，若热方程（或伴随热方程）在 $\Omega$ 中的 Dirichlet 问题以 $L^p(d\sigma)$ 边界数据可解（其中 $p \in (1,\infty)$），则 $\Sigma$ 为抛物线均匀可测。我们的主定理因此将抛物线均匀可测性确定为边界正则性和抛物线环境下 $L^p$ 可解性的正确几何框架。