抛物型 $L^p$ Dirichlet 边值问题与 VMO 型时变区域

我们证明了形如 $u_t = \mbox{div} (A \nabla u) + B \cdot \nabla u$ 的偏微分方程在时变区域上抛物型 $L^p$ Dirichlet 边值问题在 $1 < p \leq \infty$ 下的可解性，其中系数 $A= [a_{ij}(X, t)]$ 与 $B=[b_i]$ 满足某自然小 Carleson 条件。该结果使抛物情形下的研究现状达到了椭圆型的标准。进一步，我们确立若算子 $A,\,B$ 的系数满足消失 Carleson 条件且时变区域为 VMO 型，则抛物型 $L^p$ Dirichlet 边值问题对所有 $1 < p \leq \infty$ 可解。此结果与 Maz\'ya、Mitrea 和 Shaposhnikova 以及 Hofmann、Mitrea 和 Taylor 的论文中的结果相关，其中域边界法向量属于 VMO 或近 VMO 意味着某些边界算子在 $L^p$ 中对所有 $1 < p \leq \infty$ 可逆，进而（利用层势方法）意味着对某些椭圆型 PDE 在同一 $p$ 范围内 $L^p$ 边值问题可解。我们的结果未使用层势方法，因为我们所考虑的系数过于粗糙而无法运用该技术，但值得注意的是我们如同上述两文一样恢复了全 $p$ 范围内的 $L^p$ 可解性。