调和测度与定量连通性：Dirichlet问题$L^p$可解性的几何刻画（第一部分）

设$\Omega\subset \mathbb{R}^{n+1}$为一开集，不必连通，具有$n$维一致可求长边界。我们证明$\partial\Omega$可在“大块（Big Pieces）”意义下由$\Omega$的弦弧子域边界逼近，从而只要$\Omega$满足某个弱意义下的局部John条件，则$\Omega$的调和测度关于$\partial\Omega$上的表面积测度是弱-$A_\infty$的。在进一步假设$\Omega$满足内部Corkscrew条件的前提下，结合我们此前的工作以及Azzam、Mourgoglou和Tolsa的近期工作，这给出了调和测度与表面积测度定量绝对连续之域的几何刻画，进而刻画了相关$L^p$-Dirichlet问题对某个有限$p$可解这一事实。