连通性条件与边界庞加莱不等式

受 Mourgoglou 与第二作者近期工作以及 Hofmann、Mitrea 和 Taylor 早期工作的启发，我们在具有余维 $1$ 的 Ahlfors–David 正则边界的开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 中，考虑局部 John 条件、Harnack 链条件与弱边界庞加莱（Poincaré）不等式之间的联系。首先，我们证明若 $\Omega$ 同时满足局部 John 条件和外部软木塞条件，则 $\Omega$ 也满足 Harnack 链条件（因此是弦弧域）。其次，我们证明若 $\Omega$ 是双侧弦弧域，则边界 $\partial \Omega$ 支持 Heinonen–Koskela 型弱 $1$-庞加莱不等式。我们还构造了一个集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 的例，其边界 $\partial \Omega$ 是 Ahlfors–David 正则的且支持弱边界 $1$-庞加莱不等式，但 $\Omega$ 不是弦弧域。我们的证明利用了特别是在调和测度、一致可整流性和度量庞加莱理论方面的重大进展。