具有低含量正则补集的域的边界可达部分

我们证明若$0<t<s\leq n-1$，$\Omega\subseteq \mathbb{R}^{n}$具有低$s$-含量正则补集，且$z\in \Omega$，则存在以$z$为中心的弦弧域$\Omega_{z}\subseteq \Omega$使得$\mathscr{H}^{t}_{\infty}(\partial\Omega_{z}\cap \partial\Omega)\gtrsim_{t} \textrm{dist}(z,\Omega^{c})^{t}$。这最初由Koskela、Nandi和Nicolau在$n=2$、$s=1$且$\Omega$为单连通平面域时，以John域代替弦弧域所证明。由Koskela和Lehrb\"{a}ck的结果，满足此结论的域支持$\beta<p-n+t$的$(p,\beta)$-Hardy不等式；Lehrb\"{a}ck也证明了对于某个$s>n-p+\beta$的补集$s$-含量正则性是必要的。因此，这些结果的结合给出了哪些域支持点态$(p,\beta)$-Hardy不等式(对$\beta<p-1$)就低含量正则性而言的刻画。