John 域中的 $(\phi_\frac{n}{s}, \phi)$-Poincar\'e 不等式

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的有界域，$n\ge2$，$s\in(0,1)$。设 $\phi : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 为满足加倍条件的 Young 函数，其加倍常数 $K_\phi<2^{\frac{n}{s}}$。我们证明若 $\Omega$ 是 John 域，则它支持 $(\phi_\frac{n}{s}, \phi)$-Poincar\'e 不等式。或者，进一步假设当 $n\ge3$ 时 $\Omega$ 是拟共形等价于某个一致域的有界域，或当 $n=2$ 时是单连通域。我们证明若 $(\phi_\frac{n}{s}, \phi)$-Poincar\'e 不等式成立，则 $\Omega$ 是 John 域。