John 域上 $(\phi_n, \phi)$-泊松不等式

给定边界域 $\Omega \subset {\mathbb R}^{n}$，其中 $n\ge2$，设 $\phi$ 为满足倍增条件的 Young 函数，且其倍增常数 $K_\phi<2^{n}$。若 $\Omega$ 为 John 域，则显示 $\Omega$ 支持 $(\phi_{n}, \phi)$-泊松不等式。反之，若额外假设 $\Omega$ 当 $n=2$ 时为简单连通域，或当 $n\ge3$ 时为某均匀域的准共形等价域，则若 $\Omega$ 支持 $(\phi_n, \phi)$-泊松不等式，则显示 $\Omega$ 为 John 域。