凸域上Bergman核的凸性

设$\Omega$为复空间$\mathbb{C}^n$中的凸域，$\varphi$为$\Omega$上的凸函数。我们证明$\log{K_{\Omega,\varphi}(z)}$在$\Omega$上是凸函数（可能恒为$-\infty$），其中$K_{\Omega,\varphi}$为加权Bergman核。当$\varphi\equiv0$时，我们证明了一种布兰-孔尔曼类型不等式，这进一步说明若$\Omega$为凸域，则$K_\Omega(z)^{-\frac{1}{2n}}$为凸函数。同时也得到严格凸性的必要充分条件。