调和映射的 Muckenhoupt 权与 Lindel\"of 定理

我们推广了 Lavrentiev 的结果，该结果断言在弦弧 Jordan 域中，调和测度与弧长测度是 $A_\infty$ 等价的。利用这一结果，我们通过证明以下断言，将经典的 Lindel\"of 定理推广到拟共形 (q.c.) 调和映射类。假设 $f$ 是将单位圆盘 $\mathbf{U}$ 映射到 Jordan 域的拟共形调和映射。那么函数 $A(z)=\arg(\partial_\varphi(f(z))/z)$（其中 $z=re^{i\varphi}$）在 $\mathbf{U}^*=\{z: 0<|z|<1\}$ 中定义良好且光滑，并且当且仅当像域具有 $C^1$ 边界时，该函数可连续延拓至单位圆盘边界。