调和与调和椭圆映射偏导数的范数估计

设 $f = P[F]$ 表示 $F$ 在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中的 Poisson 积分，其中 $F$ 在单位圆周 $\mathbb{T}$ 上绝对连续且 $\dot{F}\in L_p(0, 2\pi)$，此处 $\dot{F}(e^{it})=\frac{d}{dt} F(e^{it})$ 且 $p\geq 1$。最近，作者在 \cite{Zhu} 中证明了：$(1)$ 如果 $f$ 是调和映射且 $1\leq p< 2$，则 $f_{z}$ 和 $\overline{f_{\overline{z}}}\in \mathcal{B}^{p}(\mathbb{D})$，即 $\mathbb{D}$ 的经典 Bergman 空间 \cite[Theorem 1.2]{Zhu}；$(2)$ 如果 $f$ 是调和拟正则映射且 $1\leq p\leq \infty$，则 $f_{z},$ $\overline{f_{\overline{z}}}\in \mathcal{H}^{p}(\mathbb{D})$，即 $\mathbb{D}$ 的经典 Hardy 空间 \cite[Theorem 1.3]{Zhu}。这些是 \cite{Zhu} 中的主要结果。本文旨在推广这两个结果。首先，我们证明在相同假设下，当 $1\leq p< \infty$ 时 \cite[Theorem 1.2]{Zhu} 成立。同时，我们证明当 $p=\infty$ 时 \cite[Theorem 1.2]{Zhu} 不成立。其次，我们证明当 $f$ 为调和拟正则映射的假设被替换为较弱的 $f$ 为调和椭圆映射的假设时，\cite[Theorem 1.3]{Zhu} 仍然成立。