凸调和映射的截片单射性与卷积定理

在本文中，作者考虑在单位圆盘$|z|<1$内定义的保向调和函数$f=h+\overline{g}$的类别${\mathcal H}_0$，并规范化使得$h(0)=0=h'(0)-1$和$g(0)=0=g'(0)$，其中$h$和$g$在单位圆盘内解析。在文章的第一部分，我们给出${\mathcal H}_0$中的两个函数类$\mathcal{P}_H^0(\alpha)$和$\mathcal{G}_H^0(\beta)$，并证明若$f\in \mathcal{P}_H^0(\alpha)$且$F\in\mathcal{G}_H^0(\beta)$，则在某些参数$\alpha$和$\beta$的条件下，调和卷积是单位圆盘内的单叶且近凸调和函数。在第二部分，我们研究调和截片（部分和）$$s_{n, n}(f)(z)=s_n(h)(z)+\overline{s_n(g)(z)}$$，其中$f=h+\overline{g}\in {\mathcal H}_0$，$s_n(h)$和$s_n(g)$分别表示$h$和$g$的第$n$个部分和。我们证明，除其他外，如果$f=h+\overline{g}\in{\mathcal H}_0$是单叶调和凸映射，则对于$n\geq 2$，$s_{n, n}(f)$在圆盘$|z|< 1/4$内是单叶且近凸的，并且对于$n\geq2$且$n\neq 3$，$s_{n, n}(f)$在圆盘$|z|< 1/4$内也是凸的。此外，我们证明对于$f\in {\mathcal C}_H^0$的截片$s_{3,3}(f)$在圆盘$|z|<1/4$内不是凸的，但被证明在更小的圆盘内是凸的。