倾斜半平面调和映射的卷积

令 ${\mathcal S^0}(H_{\gamma})$ 表示所有将单位圆盘 $\ID$ 映射到倾斜半平面 $H_\gamma :=\{w:\,{\rm Re\,}(e^{i\gamma}w) >-1/2\}$ 的单叶、调和、保向且归一化的映射 $f$ 的类，并附加条件 $f_{\bar{z}}(0)=0$。该类中的函数可通过 Clunie 和 Sheil-Small 的剪切构造来构造，这允许通过考察其共形对应物来进行研究。与共形情形不同，$\ID$ 中两个单叶调和凸映射的卷积在 $\ID$ 中甚至不一定是单叶的。在本文中，我们固定 $f_0\in{\mathcal S^0}(H_{0})$，并证明 $f_0$ 与某些倾斜半平面调和映射的卷积在特定方向上仍然是凸的。本文的结果增强了调和映射领域的研究兴趣，特别地，在更一般的设定下解决了 Dorff 等人 \cite{DN} 的一个开放问题。最后，我们给出了一些函数及其具有指定伸缩率的对应卷积函数的基本例子，并借助 MATHEMATICA 软件对它们进行了图形化展示。这些例子解释了像域的行为。