单叶调和右半平面映射卷积的单叶性

我们考虑半平面调和映射与其相应伸缩 $(z+a)/(1+az)$ 和 $e^{i\theta}z^{n}$ 的卷积，其中 $-1<a<1$ 且 $\theta\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$。我们证明当 $n=1$ 时此类卷积是局部单叶的，这解决了 Dorff 等人提出的一个开放问题（见 \cite[Problem~3.26]{Bshouty2010}）。此外，我们提供了一些数值计算以说明当 $n\geq 2$ 时此类卷积不是单叶的。