调和拟正则映射的 Zygmund 定理

设 $K\ge 1$。我们通过在以下不等式中提供常数 $C(K)$，证明了复平面单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内 $K-$拟正则调和映射的 Zygmund 定理：$$\|f\|_{1}\le C(K)(1+\|\mathrm{Re}\,(f)\log^+ |\mathrm{Re}\, f|\|_1),$$ 前提是 $\mathrm{Im}\,f(0)=0$。此外，对于定义在 $\mathbb{R}^n$ 中单位球 $\mathbb{B}$ 上的拟正则调和映射 $f=(f_1,\dots, f_n)$，当 $K\to 1$ 且 $f_1$ 为正时，我们证明了渐近精确的不等式：$$\|f\|_{1}-|f(0)|\le (n-1)K^2(\|f_1\log f_1\|_1- f_1(0)\log f_1(0))$$。