一致域与一般域中的调和测度与 Riesz 变换

设 $\Omega\subsetneq\mathbb R^{n+1}$ 为开集，$\mu$ 为支撑在 $\partial\Omega$ 上的某个测度，使得对于所有 $x\in\mathbb R^{n+1}$、$r>0$，有 $\mu(B(x,r))\leq C\,r^n$。我们证明，如果 $\Omega$ 中的调和测度相对于 $\mu$ 满足某些尺度不变的 $A_\infty$ 型条件，则 $n$ 维 Riesz 变换 $$R_\mu f(x) = \int \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}\,f(y)\,d\mu(y)$$ 在 $L^2(\mu)$ 中有界。我们不假设 $\mu$ 具有任何倍增条件。我们还考虑了 $\Omega$ 为有界一致域的特殊情况。为此，我们首先需要获得将此类域中的调和测度与 Green 函数联系起来的精确估计，这推广了 Jerison 和 Kenig 关于著名的 NTA 域类的经典结果。