满足亚临界Wolff型能量条件的具有$L^2$有界Riesz变换的测度

在这项工作中，我们对$\mathbb{R}^{n+1}$中具有$n$次多项式上增长、且满足如下Wolff能量估计的测度$\mu$给出了几何刻画：对任意球$B\subset\mathbb{R}^{n+1}$，其$n$维Riesz变换$\mathcal{R}\mu (x) = \int \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}\,d\mu(y)$属于$L^2(\mu)$，$$\int_B \int_0^\infty \left(\frac{\mu(B(x,r))}{r^{n-\frac38}}\right)^2\,\frac{dr}r\,d\mu(x)\leq M\,\bigg(\frac{\mu(2B)}{r(B)^{n-\frac38}}\bigg)^2\,\mu(2B).$$ 更确切地说，我们证明$\mu$满足如下估计：$$\|\mathcal{R}\mu\|_{L^2(\mu)}^2 + \|\mu\|\approx \int\!\!\int_0^\infty \beta_{\mu,2}(x,r)^2\,\frac{\mu(B(x,r))}{r^n}\,\frac{dr}r\,d\mu(x) + \|\mu\|,$$ 其中$\beta_{\mu,2}(x,r)^2 = \inf_L \frac1{r^n}\int_{B(x,r)} \left(\frac{\mathrm{dist}(y,L)}r\right)^2\,d\mu(y),$ 下确界取遍所有仿射$n$平面$L\subset\mathbb{R}^{n+1}$。在一项依赖于本工作所得结果的配套论文中，证明了无需上述关于$\mu$的Wolff能量的假设时同一结论仍成立。该结果对Lipschitz调和函数的Painlevé问题具有重要意义。