Heisenberg 群上 Riesz 变换 $L^2$ 有界性的必要条件

设 $\mu$ 为第 $n$ 个 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$ 上的 Radon 测度。在本注记中我们证明：若 $\mathbb{H}^n$ 上的 $(2n+1)$ 维（Heisenberg）Riesz 变换是 $L^2(\mu)$-有界的，且对所有满足 $\dim_H(F)\leq 2$ 的 Borel 集 $F$ 有 $\mu(F)=0$，则 $\mu$ 必具有 $(2n+1)$-多项式增长。这是 Guy David 于 1991 年所得结果在 Heisenberg 群上的对应结论。