Heisenberg 群中的 Marstrand 密度定理

我们证明：若 $\mu$ 是 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$ 上的 Radon 测度，且相对于 Kor\'anyi 度量 $d_H$ 计算的密度 $\Theta^s(\mu,\cdot)$ 在一个具有正 $\mu$ 测度的集合上存在、为正且有限，则 $s$ 必为整数。该证明依赖于对 $(\mathbb{H}^n,d_H)$ 上均匀分布测度的分析。我们提供了此类测度的若干示例，阐明了这种次黎曼几何设定与其欧几里得对应物之间的相似性及显著差异。