Dedekind 整环上的密度、完备化与 Haar 测度

设 $D$ 为整体域中的 $S$-整数环，$\hat{D}$ 为其 profinite 完备化。我们讨论 $D$ 中的密度与 $\hat{D}$ 的 Haar 测度之间的关系：特别地，我们探究 $D$ 的子集 $X$ 的密度何时等于其在 $\hat{D}$ 中闭包的 Haar 测度。为给出精确表述，我们给出密度的统一定义，该定义涵盖了最常用的若干密度。利用此定义，我们给出密度与测度相等的一个充要条件，其包含了 Poonen 与 Stoll 的一个判据。另一方面，我们将 Davenport-Erdős 定理推广到上述任意 $D$，并给出其作为一种“密度=测度”结果的新解释。我们的观点也简洁地证明了：在任意 $D$ 中，至多被 $k$ 个不同素数整除的元素构成的集合对任意自然数 $k$ 密度均为 0。最后，我们证明 $D$ 的素元素集合的闭包是 $\hat{D}$ 的单位群与一个可忽略部分的并。