勒贝格密度定理的描述集合论

给定康托尔空间测度代数中的一个等价类 $[A]$，令 $\hat\Phi([A])$ 为在 $A$ 中密度为1的点集。形如 $\hat\Phi([A])$ 的集合称为 $\mathcal{T}$-正则集。我们确立了关于 $\mathcal{T}$-正则集的若干结果。其中，我们证明了 $\mathcal{T}$-正则集可以具有 $\Pi^{0}_{3}$ (=$\mathbf{F}_{\sigma\delta}$) 内的任意复杂度，即对于康托尔空间的任意 $\Pi^{0}_{3}$ 子集 $X$，存在一个具有与 $X$ 相同拓扑复杂度的 $\mathcal{T}$-正则集。然而，一般（generic）的 $\mathcal{T}$-正则集是 $\Pi^{0}_{3}$-完全的，这意味着使得 $\hat{\Phi}([A])$ 为 $\Pi^{0}_{3}$-完全的等价类 $[A]$ 构成了测度代数的一个余贫集（comeagre subset）。我们证明该集合在力迫意义下也是稠密的，因为内部为空的 $\mathcal{T}$-正则集被证明是 $\Pi^{0}_{3}$-完全的。最后我们证明，一般的 $[A]$ 不包含 $\Delta^{0}_{2}$ 集，即属于 $\mathbf{F}_\sigma\cap\mathbf{G}_\delta$ 的集合。